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股数和费马定理
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如果个直角三角形的两条直角边分别是a和b斜边是c，那么a2+b2=c2，这就是著名的
“股定理”。如果a、b、c都是正整数，就说它们是组股数。般地说，股数就是定方程x2+y2=z2(1)的正整数解。
在公元1900—1600年的块巴比泥板中，记载了15组股数，包括（119，120，169），（3367，3456，4825），（12709，13500，18541）这样些数值很的股数，说明当时已经有了股数的某种公式。
于是们步设想：在（1）中，如果未知数的次数比2，还有没有正整数解呢？
约在1637年，费马认真地研究了这个问题，指，已经证明，个立方数可能表为两个立方数之和，个四次方也可能表为两个四次方之和。般说，指数于2的任何幂可能表为两个同样方幂之和。也就是说，当n＞2时，定方程x2+y2=z2（2）没有正整数解。这就是通常们所说的费马定理，也费马最定理。
，直没有发现费马的证明。300多年，批数学家，其中包括欧拉、斯、阿贝尔、柯西等许多最杰的数学家都试图加以证明，但都没有成功，使这个定理成了数学中最著名的未解决问题之。现在般认为，当初费马也并没有证这条定理。
费马定理也引了无数业余好者。当1908年德国廷科学院宣布将发给第个证明它的10万马克奖金时，据说有些商也加入了研究的行列。但由于费马定理可能有初等证明，因而那些连初等数论的基本容都熟悉的，对此只能“望洋叹”了。这说明克世界难题，仅需勇气和毅，还需备扎实的基础知识。
53强盗的难题
强盗抢劫了个商，将在树准备杀掉。为了戏这个商，强盗头子对说：“说会会杀掉，如果说对了，就放了，决反悔！如果说错了，就杀掉。”
聪明的商仔想，说：“会杀掉的。”于是强盗头子发呆了，“哎呀，怎么办呢？如果把杀了，就是说对了，那应该放；如果把放了，就说错了，应该杀掉才是。”强盗头子想到自己被难住了，心想商也很聪明，只好将放了。
这是古希腊哲学家喜欢讲的个故事。如果们仔想想，就会明那个商是多么机智。对强盗说：“会杀掉的。”这样，无论强盗怎么，都必定与许诺相矛盾。
如果是这样，假如说：“会放了的。”这样强盗就可以说：“！会杀掉的，说错了，应该杀掉。”商就难逃了。
面这个例子也是有趣的。有个虔诚的徒，在演说中声声说帝是无所能的，什么事都能得到。位路问了句话，使顿时张结。
这句话是：“帝能创造块也举起的石头吗？”请想想，这个徒为什么会哑无言？
54部分也能等于整吗？
在个盒子里，装着许多黑两种围棋棋子，怎么才能知哪种颜的棋子多些呢？种办法是分别数它们的个数，行比较；另种办法是，每次同时取黑两种棋子，直取去，如果最只剩某种颜的棋子，就说明这种颜的棋子多，如果刚好取完，就说明两种颜的棋子样多。
但是，假如那个盒子里装着无穷多个棋子，那就没有办法把两种颜的棋子分别比较多少了，因为，至少有种颜的棋子是无穷多的。但是种办法却仍然可以使用：如果取了若次之，盒子里只剩某种颜的棋子，就可知这种颜的棋子多，而且是多得多了。如果拿个黑的，总能再拿个的；拿个的，也总能再拿个黑的，总说明它们是同样多的。
整于部分，这是条古老而又令到无可置疑的真理。把个苹果切成三块，原的整个苹果当然于切开的任何块，但这仅仅是对数量有限的品而言的。17世纪的科学家伽利略发现，当涉及无穷多个品时，况可就样了。
比如有问：整数和偶数哪种数多呢？也许会认为：当然是整数比偶数多，而且是多倍。如果从1数到100，那么就有100个整数，而其中只有50个偶数。那是无穷多个整数和偶数呢？们可以用“对应”的方法比较：
－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6
－6，－4，－2，0，2，4，6，8，10，12
对于每种整数，们可以找到个偶数和它对应，反对于每个偶数们又定可能找到个整数和它对应，这就是整数和偶数是对应的，也就是说整数和偶数是样多的。
为什么会得这样的结论呢？这是因为们现在讨论的整数和偶数是无限多的，在无限多的况，整可能等于部分。
在这个思想的启发，19世纪期德国数学家康托尔创立了集论。它揭示：部分可以和整之间建立对应关系，这正是有无穷多个元素集的本质属之。它也告诉们：随地把在有限的形得到的定理应用到无限的形中去。
55无法编成的目录
